Le coin des olympiades

Problème 1 :

   Deux cercles (C₁) et (C₂) se coupent en M et N. Soit (L) la tangente commune à (C₁)   et (C₂)   telle que M soit plus proche de (L)   que de N. La droite (L)   est tangente à (C₁)   en A et à (C₂)  en B. La droite passant par M et parallèle à  (L) rencontre à nouveau le cercle  (C₁) en C et le cercle (C₂)  en D. Les droites (CA) et (DB) se coupent en E. Les droites (AN) et (CD) se coupent en P. Les

droites (BN) et (CD) se coupent en Q. Montrer que EP = EQ.

Commentaires :

i)<MBA = <MDB =<ABE  (<MBA et<MDB sont deux angles inscrits dans (C₂)  interceptant le même arc  et <MDB et<ABE  sont correspondants).

 De même <MAB = <MCA = <BAE

ii)Les droites (AM) et (AE) d’une part et les droites (BM) et (BE) d’autre part sont homologues dans la symétrie orthogonale d’axe (AB)

iii)S_(AB) (M) = E et par conséquent  (EM) ┴  (PQ)  car   (PQ) ⁄⁄ (AB)

iv)(MN) coupe (AB) en I; on a :  IA² = IM.IN = IB² d’où  I = A*B

v)comme  (PQ) ⁄⁄ (AB) alors  M = P*Q

vi)finalement (EM) ┴ (PQ) et M= P*Q  impliquent que (EM) est la médiatrice de[PQ ] et que par suite EP = EQ.

Remarque :

Les égalités du iv) proviennent du résultat général suivant :

Etant donnés un cercle C(O,R) et un point P extérieur à (C ). Soit (PAB) une sécante à (C ) et posons S_o(B)=C.

On a PA.PB = PC.PB = (PO + OC)(PO – OC) = PO² – R² cette expression ne dépend que du point P et du cercle (C ) elle s’appelle puissance du point P par rapport au cercle (C ).

Si (PT) est une droite tangente à (C ) en T on a : PT² = PO² – R² = PA..PB

Problème 2

      A , B,C et D sont, dans cet ordre, quatre points distincts d’une même droite. Les cercles de diamètres [AC] et [BD] se coupent aux points I et J. La droite (IJ) rencontre (BC) au point K. Soit P un point de (IJ) distinct de K. La droite (CP) rencontre le cercle de diamètre [AC] aux points C et M et la droite (BP) rencontre le cercle de diamètre [BD]aux points B et N. Montrer que les droites (AM), (DN) et (IJ) sont concourantes.

Commentaires :

i) En utilisant la puissance du point K par rapport aux cercles  de diamètres [AC] et [BD] ( se conférer à la remarque ci-dessus), on obtient :

                                   KB.KD = KA.KC  ( car tous les deux égaux à KI. KJ )

ii) On en- déduit  que : l’homothétie h de centre K qui transforme D en C  transforme A en B.

iii) L’image de (DN) par h est la droite portant la hauteur du triangle PBC issue de C. et l’image de (AM) par h est la droite portant la hauteur du triangle PBC issue de B ( compte tenu du fait que l’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle)

iv) Donc l’image par h du point d’intersection de (DN) et (AM) est l’orthocentre H du triangle PBC.

v) Comme H et K sont deux points de (IJ), alors (DN), (AM) et (IJ) sont concourantes.