LES STRATEGIES DE RESOLUTION

DES ACTIVITES GEOMETRIQUES

INTRODUCTION : le programme officiel du 2° cycle de l’enseignement de base et celui de l’enseignement secondaire ont réservé une place de choix aux activités géométriques. En effet, celles-ci ont l’avantage de favoriser chez l’apprenant les capacités d’imagination, d’observation et d’analyse et l’amène à argumenter ses affirmations moyennant un raisonnement rigoureux et une rédaction claire et cohérente. Nous nous proposons dans ce qui suit d’analyser la méthodologie adoptée et les compétences acquises au cours de ces activités.

A) compétences et capacités exigibles dans la résolution des problèmes de géométrie plane

Lors de la résolution de problèmes de géométrie plane on est généralement amené à :

-         Etablir des propriétés d’une configuration donnée.

-         Déterminer un lieu géométrique.

-         Réaliser une construction géométrique rigoureuse à la règle et au compas.

Pour ce fait, on peut exploiter le processus propre à la théorie de la communication et suivre la démarche méthodique suivante :

1-     Recevoir un message : lire un énoncé , observer une figure, identifier des faits

2-     Traiter le message reçu : analyser les hypothèses et les données à l’aide de relations mathématiques ou de propriétés géométriques des configurations usuelles. 

3-     Emettre un message personnalisé : élaborer un plan d’action , valider un énoncé, justifier un résultat, rédiger une démonstration, conclure…

Le tableau ci-dessous nous permet de classer les compétences et les capacités exigibles pour chaque phase de résolution d’un problème de géométrie plane.

B) Méthodologie de résolution de problèmes de géométrie plane

On peut distinguer quatre catégories de problèmes de géométrie plane qui diffèrent aussi bien par leurs objectifs que par les procédés et outils mis en œuvre dans leur résolution.

Première catégorie : étude libre d’une figure donnée.

Deuxième catégorie : découverte de propriétés précises d’une figure.

Troisième catégorie : recherche d’ensemble de points possédant une ou plusieurs propriétés données.

Quatrième catégorie : construction d’une figure géométrique possédant certaines propriétés.

RECOMMANDATIONS GENERALES :

Pour une meilleure appréhension des données fournies et en vue de faciliter une résolution méthodique et rigoureuse de problèmes, on procédera  successivement à l’exécution des tâches suivantes :

1-     Lire attentivement l’énoncé et se faire une première idée de la situation géométrique proposée en relevant les mots clés et les données essentielles du problème.

2-     Exécuter sommairement une figure traduisant les hypothèses émises qui seront symboliquement matérialisées par des signes conventionnels appropriés.

3-     Construire la figure correspondante à la règle et au compas et conformément aux données et restrictions indiquées par l’énoncé.

4-     Examiner avec soin et méthode les propriétés de la figure ainsi construite et les lier à la question posée.

5-     Partir enfin à la découverte en exploitant simultanément ses acquis cognitifs  et comportementaux et son expérience personnelle en situations similaires (propriétés et théorèmes précédemment établis, figures - clés, exercices antérieurement résolus…).

Dans cette dernière étape deux procédés sont généralement sollicités :

-         Utiliser le raisonnement par déductions.

-         Emettre des conjectures et les valider.

Conseils :

Le travail fait aux étapes 4 et 5 est exigeant en réflexion, minutie et rigueur ; il est aussi généralement ingrat et demande un temps relativement long et une patience quasi- permanente. Mais ce travail reste le chemin obligé si l’on veut acquérir une bonne expérience dans la résolution de problèmes de géométrie en rendant les conjectures moins hasardeuses, les déductions moins pénibles et l’intuition géométrique plus forte et plus soutenue.

Dans la suite, on exposera une présentation plus fine de la méthodologie particulière relative à la résolution de chacune des quatre catégories de problèmes géométriques précédemment citées.

A. Première catégorie de problème : l’étude libre d’une figure

La question posée par ce genre de problème est ouverte. L’objectif poursuivi n’est pas délimité d’une façon précise. Il s’agit de provoquer un travail d’investigation et de découverte de propriétés inconnues. La méthodologie convenable s’articule autour de deux axes principaux :

-         L’utilisation de divers outils mathématiques (figures-clés, vecteurs, transformations, procédés analytiques …)

-         La construction à la règle et au compas de la figure correspondante dans des ordres différents des données.

Exemple :

(C) est un cercle de diamètre [AB] et M un point de (C)  tel que AM=1/2. AB  . La tangente à (C) au point M coupe (AB) en I. Etudier la figure. Que pouvez-vous dire du triangle MIB ?

B.   Deuxième catégorie de problème : démonstration de certaines propriétés (précisées par l’énoncé) d’une figure à partir des données et en mettant en œuvre les théorèmes généraux établis au cours des apprentissages antérieurs.

Pour venir à bout de ce genre de problèmes, on peut suivre la démarche suivante :

1-     Etudier librement la figure et en dégager le maximum de propriétés.

2-     Traduire la propriété à découvrir en d’autres termes et imaginer ce qu’il suffit d’avoir pour pouvoir conclure.

3-     Si l’une des propriétés découvertes au 1°) suffit pour conclure, le problème est résolu. Sinon, on continue à approfondir plus finement les propriétés obtenues au 1°) et au 2°) jusqu’à les faire coïncider.

Conseil : s’abstenir d’ajouter de nouvelles constructions non indiquées dans l’énoncé avant d’épuiser toutes les propriétés  dont la découverte est possible et immédiate.

Exemple 1 :

ABC est un triangle quelconque du plan. G, H et O  sont respectivement son centre de gravité, son orthocentre et le centre de son cercle circonscrit. Montrer que les points G, H et O sont alignés.

Indication : utiliser l’homothétie de centre G et de rapport  (–1/2).

Exemple 2 :

ABC est un triangle quelconque du plan et H son orthocentre. Montrer que les symétriques de H  par rapport à chacun des cotés (AB), (AC)et (BC) appartiennent au cercle circonscrit du triangle.

Indication : Utiliser l’action de la symétrie axiale sur les angles orientés.

C.   Troisième catégorie de problèmes : Recherche d’ensemble de points possédant une propriété donnée (lieux géométriques)

Ici, l’objet de recherche n’est pas précisé. Il s’agit d’analyser la situation et d’émettre des conjectures qu’on validera par la suite. la démarche de résolution nécessite cinq étapes essentielles :

1-     Construire des points particuliers possédant la propriété donnée.

2-     Etudier la position des points construits les uns par rapport aux autres.

3-     Dégager les propriétés permettant de définir parfaitement les points dont on veut trouver le lieu géométrique.

4-     Parmi les propriétés découvertes au 2°) choisir celle qui ne fait intervenir que les données numériques et les points fixes de la figure. Dégager alors le lieu cherché en se référant aux lieux classiques et à l’action des transformations sur les configurations usuelles de base.

5-     Etudier, le cas échéant, la réciproque et délimiter le lieu en examinant les cas particuliers et les cas limites. (si le lieu cherché est obtenu comme image d’une figure par une transformation plane, il n’est pas nécessaire d’étudier la réciproque).

CONSEIL :

Si la figure se complique par la construction des points répondant à la question, il est indispensable de refaire une autre figure servant pour support au travail d’investigation du  3°).

EXEMPLES :

·        On donne un segment [AC] et le point B de ce segment défini par AB = 1/3.BC. On note (D) et (D’) les cercles de diamètres respectifs [AB] et [BC] et soit E un point quelconque de  (D’). La droite (BE) recoupe le cercle (D) en D et les droites (AE) et (DC) se coupent en M.

     Trouver  le lieu géométrique du point M lorsque le point E décrit le cercle (D’).

Indication : utiliser le parallélisme des droites (CE) et (AD).

·        Un triangle ABC est inscrit dans un cercle fixe de centre O. B et C sont fixes sur le cercle et A décrit tout le cercle. Déterminer les lieux géométriques des centres des cercles inscrit et exinscrit au triangle ABC.

Indication : calculer une mesure de l’angle (IB,IC) où I désigne le centre du cercle inscrit ou exinscrit du triangle.

·        On donne un cercle (D) variable et restant tangent en un point fixe A à une droite fixe (D). Trouver le lieu géométrique des points de contact des tangentes à ce cercle qui sont parallèles à une direction fixe.

Indication :considérer un cercle fixe tangent en A à (D) et une homothétie de centre A

D.   Quatrième catégorie de problèmes géométriques : construction à la règle et au compas d’une figure possédant des propriétés données.

L’objectif poursuivi est ici précisé, mais les moyens à utiliser pour accomplir la tâche demandée ne sont pas donnés. La difficulté de résolution réside dans le fait que l’on ne sait même pas si la figure que l’on veut construire existe réellement ou si elle est unique. La méthodologie de résolution est matérialisée par le schéma récapitulatif suivant :

Exemples

Construire la (ou les) tangente(s) passant par un point donné du plan à une parabole donnée par son foyer F et sa directrice (D). Discuter.

- Soient trois cercles concentriques (D₁), (D₂) et (D₃) de rayons respectifs R₁, R₂ et R₃ tels que R₁<R₂<R₃.

Construire un triangle équilatéral A₁A₂A₃ tel que A₁Î (D₁), A₂Î (D₂) et A₃ Î (D₃). Discuter.

Indication : utiliser la rotation de centre A₃ et d’angle  p/3.

- Construire une droite de direction donnée coupant un cercle (C ) en B et C, un cercle (C’) en B’ et C’ et telle que :

                                BC +  B’C’ =  V    (  V vecteur donné)

Indication : utiliser la translation de vecteur CB’.

Enoncé des activités

Consignes :

-       Etudier les activités suivantes en petits groupes.

-       Dégager les notions théoriques suscitées ainsi que les difficultés éventuelles et le lien avec les programmes du tronc commun de l’enseignement secondaire.

-         Chaque groupe présentera une rédaction détaillée et complète de l’ensemble des activités proposées

Activité 1 :

 Construire une droite de direction donnée coupant un cercle (C ) en B et C, un cercle (C’) en B’ et C’ et telle que :

                                BC +  B’C’ =  V    (  V vecteur donné).

Activité 2 :

Un triangle ABC est inscrit dans un cercle fixe D de centre O et de rayon R. On désigne par H son orthocentre et on suppose que les sommets B et C sont fixes et que A est variable sur D. On note D le point diamétralement opposé à A sur  D et I le milieu de [BC] .

1-     Comparer les vecteurs AH et OI. En- déduire le lieu géométrique de H.

2-     On construit sur [AH] comme diagonale le carré AMHN. Déterminer les lieux géométriques de M et N.

 Activité 3 :

Dans le triangle ABC le côté [BC] est fixe et la médiane [AI] a une longueur constante a. On désigne par M, N, et P les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [MN].

1.     Trouver les ensembles des points M, N et P lorsque A varie.

2.     Les droites (PC) et (AB) se coupent en R et les droites (BP) et (AC) se coupent en S.

a-     Trouver l’ensemble des points R.

b-    Montrer que les droites (RS) et (BC) sont parallèles.

 Activité 4 :

On donne un cercle (D) variable et restant tangent en un point fixe A à une droite fixe (D). Trouver le lieu géométrique des points de contact des tangentes à ce cercle qui sont parallèles à une direction fixe.

LES STRATEGIES DE RESOLUTION DES ACTIVITES GEOMETRIQUES

A)  Compétences et capacités exigibles dans la résolution des problèmes de géométrie plane

B)   Méthodologie de résolution de problèmes de géométrie plane

1- Recommandations générales

2- Première catégorie : étude libre d’une figure donnée.

3- Deuxième catégorie de problème :démonstration de certaines propriétés (précisées par l’énoncé) d’une figure à partir des données et en mettant en œuvre les théorèmes généraux établis au cours des apprentissages antérieurs.

4- Troisième catégorie de problèmes : Recherche d’ensemble de points possédant une propriété donnée (lieux géométriques)

5- Quatrième catégorie de problèmes géométriques : construction à la règle et au compas d’une figure possédant des propriétés données