Le nombre d'or 
Nous allons quelque peu étudier cette figure, mais auparavant il nous faut donner la définition et les propriétés de la section dorée : trois points A, B, C forment une section dorée si :  BC  ₌  AC

                                                                                                ___     ___
                                                                                                AB      BC 

ou encore: « s'il y a de la petite partie à la grande le même rapport que de la grande au tout » (Vitruve). Un artiste, dont l'oeil est exercé à évaluer mentalement des rapports, est agréablement touché par cette égalité, d'où, selon Vitruve, une impression d'harmonie et de beauté. Les Grecs, très soucieux d'esthétique, l'avaient remarqué ; des tests modernes 
ont permis de vérifier que la section dorée, cachée parmi d'autres prises au hasard, était souvent citée comme la plus harmonieuse. Cette section dorée (appelée encore : la divine proportion) est très simplement reliée au nombre k, qui n'est donc autre que le fameux nombre d'or des artistes. 
En effet, si on pose AB = 1, BC = x, donc AC = x + 1, l'égalité des rapports entraîne : 
             x   =   x + 1 

           ___      _____
             1           x

Soit x ² = x + 1  ou x ² - x - 1 = 0
On reconnaît l'équation du second degré qui donnait k. L'une des racines est : = 1,61803399..., 
l'autre racine est : = - 0,618O3399. . 
qui est aussi, changée de signe, l'inverse de la première. 
On donne souvent cette seconde racine comme valeur de la section dorée, c'est le rapport  AB/BC ou BC/AC 
Les valeurs données plus haut sont évidemment irrationnelles par suite de la présence de Ö5 dans leur expression.     On en prend souvent 3/5 Ou 5/3 comme valeur approchée, mais on peut facilement construire deux longueurs dont le rapport est le nombre d'or. Il suffit, comme l'indique la figure, de construire le triangle rectangle OAB de côtés 1 et 2, dont l'hypoténuse est alors Ö5, et de rabattre celle-ci sur la droite AO. Cela donne deux points C et C', tels que 

AC =Ö5 + 1 et AC' = Ö5 - 1 , les rapports de ces deux segments à AB sont donc l'une et l'autre valeur du nombre d'or. Les rectangles ayant pour côtés AC et AB ou AB et AC' sont des rectangles d'or. Le nombre d'or permet de construire une suite de nombres irrationnels en progression géométrique croissante possédant la même propriété fondamentale que la suite des nombres entiers de Fibonacci, c'est-à-dire que chacun des nombres de cette progression géométrique est somme des deux précédents. Cette progression peut aussi être pour suivie dans l'autre sens en descendant au-dessous de 1 et possède toujours la même propriété, chaque nombre étant cette fois égal à la somme des deux suivants. Cela donne la double suite :..   1         1        1   1  k   k²     k³        k⁴      k⁵  ....   

                                                          __       __       __      
                                                           k³       k²       k 
                                                     ...  2k-3;  2-k;     k-1; 1 ; k; k+1; 2k+1; 3k+2; 5k+3... 

chacune des lignes étant formée à l'aide de l'une ou l'autre des propriétés. Chacun des termes d'une suite est évidemment égal au terme correspondant de l'autre ; on peut en déduire un grand nombre de relations vérifiées par        le nombre d'or. En particulier on peut reconnaître dans la seconde ligne les nombres de Fibonacci, ce qui permet d'avoir très facilement les puissances successives de k et leurs inverses.

Le nombre d'or et les peintres:

Les peintres font souvent grand usage de la « divine proportion ». Dès la plus haute Antiquité, on avait remarqué que k était à peu près le rapport entre la première et la seconde, entre la seconde et la troisième phalange d'un doigt ; que le nombril divisait le corps en section dorée, etc. D'où l'emploi systématique de celle-ci en architecture (temples grecs, cathédrales), en peinture : le célèbre tableau les Bergers d'Arcadie, de Nicolas Poussin, est entièrement ,construit selon les principes de la section dorée. Avec une bonne reproduction qui n'altère pas les dimensions du .tableau (par la mise en page, par exemple), on peut relever
les horizontales et les verticales qui divisent les côtés en proportion dorée, les emboîtements successifs des rectangles qui drainent l'attention du spectateur vers l'inscription. Raphaël encore, parmi tant d'autres, en a fait de multiples utilisations (Saint Michel terrassant le démon, la Belle jardi- nière).

D'autre part, on sait que les cubistes en ont fait un large emploi. Rappelons que l'effet harmonieux vient de la rencontre, entre d'une part, l'égalité des rapports
petit segment   ₌   grand segment

___________        ____________

grand segment      segment total 

et d'autre part, le fait que des symétries n'altèrent pas ces rapports. Ainsi s'explique le nom de symétrie dynamique donné quelquefois à l'étude de la section dorée.
On sait moins que celle-ci intervient aussi en ameublement. Nous l'avons retrouvée, par hasard, en feuilletant un ouvrage assez ancien, dans des schémas de construction de fauteuils Louis XVI et de tables à pied unique. .
Enfin, la section dorée peut être retrouvée partout, pourvu qu'on veuille bien la chercher. En chronométrant la célèbre
interprétation de The Last Time par le Hot Five de Louis Armstrong (1925), nous avons obtenu le schéma suivant :
Si la seconde partie est construite suivant les canons les plus simples, en revanche, on peut remarquer que AEH, ACD, ABD, ABC, BCD, CDE sont approximativement des sections dorées dans le temps. On peut penser qu'elles ne sont pas étrangères à l'impression d'équilibre que produit indéniablement cette face.