, avec M distinct de O.d’un nombre complexe
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Forme trigonométrique d'un nombre complexe Relation entre forme cartésienne et forme trigonométrique d'un nombre complexe Forme exponentielle d'un nombre complexe
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I) Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1°) Activité
Soit M(x,y) un point quelconque du plan complexe muni d’ un repère orthonormé
direct , avec M distinct de O.
On pose z = Aff(M), r = 
et 
une mesure de l’angle orienté 
.
Exprimer x puis y en fonction de r et . En déduire l’expression de z en fonction
de r et.
2°) Théorème
Soit z un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe.
On a alors : z = (cos
+ isin) où est une mesure de l’angle orienté .
Réciproquement,
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Si |
z = r(cos ( |
alors |
r = (M étant l’image de z dans le plan complexe) |
3°) Vocabulaire
*
L’écriture d’un complexe non nul z sous la forme : z =(cos + isin) est appelée la forme trigonométrique de z.
Exemple : 
.
donc 
est la forme trigonométrique de -1 + i.
* Si M est l’image de z dans le plan complexe alors toute mesure 
de l’angle est appelée un argument de z
et on note : 
.
Exemple : d’après l’exemple précédent, 
Tout complexe non nul z est parfaitement déterminé à l’aide de son
module et son argument .
On notera alors z = 
: c’est la forme polaire de z.
4°) Conséquences
:
.
: i) 
ii) 
iii) 
vi) 
5°) Propriétés
Théorème 1
*
.
*
.
*
*
Théorème 2
Soit z et z’ deux complexes non nuls :
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Activité d’application
a) Calculer 
puis déterminer son argument.
b) En déduire l’argument de chacun des complexes suivants :
II) Relation entre forme algébrique et forme trigonométrique d’un complexe non nul
1°)
Soit z un complexe non nul de forme trigonométrique :
signifie z =
et on a : 
par suite : 
est la forme algébrique de z
ainsi 
d’où le théorème :
Etant donné un complexe non nul z alors son argument est défini par :
2°) Application
a) Ecrire le complexe 
sous sa forme trigonométrique.
b) En déduire les valeurs exactes de 
et 
Solution :
On a 
On a 
alors 
alors 
* On a 
En résumé : 
= 
: c’est la forme trigonométrique de Z.
d’autre part :
On déduit alors que : 
.
Soit z = 
alors 
.
Dans le cas particulier où = 1, on aura : 
donc 
.
d’où la règle :
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connue sous le nom de : formule de Moivre
Application :
Exprimer sin4
à l’aide des puissances de sin et de cos
.
IV) Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
Pour tout 
, le complexe z = 
peut être noté z = 
:on lit exponentielle 
.
Plus généralement z étant un complexe non nul de module r et d’argument , l’écriture z = r
est appelée forme exponentielle de z.
Exemples :
*
Théorème
r et r’ étant deux réels strictement positifs , et
’
deux réels quelconques on a :
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Soit z =
alors 
Les deux formules :
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sont connues sous le nom de formules d’Euler.
Application :
Linéariser 
+ isin
